Semiwariogram.GIF

Geostatystyka

Geostatystyka (ang. geostatistics) statystyka przestrzenna, zbiór metod statystycznych zajmujących się modelowaniem lub przewidywaniem procesów zachodzących w przestrzeni, metoda interpolacji. Statystyka zajmuje się prawdopodobieństwem wystąpienia jakiegoś zjawiska oraz w jaki sposób dwa (lub więcej) zjawiska odnoszą się do siebie, wykorzystując fakt, że ze wzrostem odległości między punktami pomiarowymi, korelacja między nimi spada.

Za ojca geostatystyki uważany jest Georges Matheron, który w 1962 roku opisał metodę optymalizacji szacowania zasobów i jakości złóż. W tym celu zastosował semiwariogram, który pokazuje liniową zależność średniego zróżnicowania określonego parametru od średniej odległości pomiędzy punktami pomiarowymi. Semiwariogram oznacza po prostu wariogram podzielony przez dwa. Wariogram pokazuje, w jaki sposób stopniowo wraz ze wzrostem odległości pomiędzy nimi maleje korelacja pomiędzy dwiema wartościami (rozumiana jako różnica pomiędzy wartościami dwóch pomiarów podniesionymi do kwadratu i oddalonymi o określoną odległość). Zastosowanie semiwariogramu było zainspirowane pracami Danie Krige, inżyniera górnictwa, który prowadził badania nad optymalizacją oceny jakości złóż złota w Południowej Afryce. Od jego imienia krygingiem nazwano metodę estymacji rozkładu wartości średnich.

Tradycyjna geostatystyka oparta o zależności deterministyczne a właściwie wykorzystanie semiwariogramu rozpatruje zmienność wartości parametrów (różnicę pomiędzy wartościami pomiarów) w zależności od odległości pomiędzy punktami pomiarowymi. Kryging służy właściwie interpolacji pomiędzy punktami pomiarowymi i daje jedno rozwiązanie. Sporządzenie wariogramu wymaga dużej ilości danych (ok. 30 pomiarów). Warunkowe symulacje oparte o semiwariogram, zakładają gaussowski (normalny) rozkład modelowanych wartości, co stanowi słaby punkt tej metody. Ponadto złożone zależności przestrzenne, jak na przykład architektura osadów rzecznych, mogą być trudne do uchwycenia za pomocą geostatystyki opartej o wariogram (rozpatrującej zmienność pomiędzy parami punktów, określanej też jako two-point statistics).

W odróżnieniu od metod deterministycznych, metody stochastyczne (wykorzystujące zmienne losowe) dają wiele rozwiązań, które są równie prawdopodobne. W geologii ilość danych otworowych jest niewielka a modelowane struktury są bardzo złożone przestrzennie. Dlatego ilość możliwych rozwiązań jest bardzo duża. Stochastycznych metody wykorzystują zasady statystyki w celu przeprowadzenia:

  • warunkowej symulacji (ang. conditional simulation, określanej też jako symulacji stochastycznej) wielu rozkładów określonego parametru, które charakteryzują się równym stopniem prawdopodobieństwa
  • estymacji rozkładu wartości według ich największego prawdopodobieństwa (ang. probability estimation) wystąpienia (obraz uśredniony z wielu symulacji)
  • przeprowadzenia analizy niepewności (ang. uncertainty assessment) uzyskanych wyników

Statystyka wielopunktowa MPS (ang. multiple point statistics) - zaproponowana w 1992 roku przez Guardiano i Srivastava - rozpatruje relacje pomiędzy wieloma punktami. W 2000 roku Strebelle wprowadził algorytm SNESIM (ang. single normal equation-based simulation), który dzięki swojej prostocie zrewolucjonizował geostatystykę. W procesie warunkowych symulacji zamiast wariogramu wykorzystywany jest obraz referencyjny (ang. training image). Obrazy referencyjne to konceptualne modele przedstawiające w sposób graficzny przestrzenne uporządkowanie podłoża, na przykład złożoność systemów depozycyjnych i relacje przestrzenne pomiędzy jednostkami facjalnymi. Modele te są oparte o obserwacje polowe, analogiczne sytuacje geologiczne, modele facjalne, itp. Zależności pomiędzy wieloma punktami pomiarowymi wybierane są z obrazu referencyjnego i wykorzystywane do symulacji nowego rozkładu danych z uwzględnieniem istniejących danych zebranych w terenie (np. z odwiertów).

Estymacja najbardziej prawdopodobnego rozwiązania oparta jest o rozkład prawdopodobieństwa tworzony na podstawie wielu równie możliwych rozwiązań uzyskiwanych w trakcie symulacji stochastycznych. Podobnie jak w przypadku krygingu, najczęstszym ograniczeniem tych metod jest konieczność zachowania zasady stacjonarności, tzn. zależności są takie same w każdej części symulowanego modelu.

Statystyka wielopunktowa jest wykorzystywana głównie w geologi naftowej przy modelowaniu rozkładu elementów poniżej rozdzielczości danych sejsmicznych, zwłaszcza facji osadowych, porowatości, czy przewodności hydraulicznej w obrębie skał zbiornikowych dla złóż węglowodorów, jak na przykład sekwencji turbidytowych (Pyrcz i in. 2005). Na potrzeby hydrogeologii podejmowane są też próby jej wykorzystania do modelowania przepływu wody w poziomach wodonośnych.

Literatura

Boogaart, K.G. 2006. Some theory for Multiple Point Statistics: Fitting, checking and optimally exploiting the training image, w: Pirard E. (red.) Proceedings of the IAMG'2006 Annual Conference on "Quantitative Geology from multiple sources", Liege, Belgium
Deutsch C.V. 2002. Geostatistics Reservoir Modeling. Oxford, UK: Oxford University Press
Guardiano F.B., Srivastava R.M. 1992. Multivariate Geostatistics: Beyond Bivariate Moments, w: Soares A. (red.) Geostatistics Tróia ’92. Quantitative Geology and Geostatistics 5. Springer
Journel A.G. 2005. Beyond covariance: the advent of multiple-point geostatistics, w: Leuangthong O., Deutsch C.V. (red.) Geostatistics BANFF 2004, Springer
Krivoruchko K. 2011. Spatial Statistical Data Analysis for GIS Users, Redlands, CA: Esri Press
Pyrcz M.J., Catuneanu O., Deutsch C.V. 2005. Stochastic surface-based modeling of turbidite lobes, American Association of Petroleum Geologists Bulletin 89
Srivastava R.M. 1995. The Visualization of Spatial Uncertainty. W: (Yarus J.M., Chambers R.L. red.) Stochastic Modeling and Geostatistics, 3, 339-346, Tulsa, Oklahoma: AAPG Computer Applications in Geology, AAPG
Strebelle S. 2000. Sequential simulation drawing structures from training images, unpublished PhD Thesis, Stanford University
Urbański J. 2012. GIS w badaniach przyrodniczych, ebook online: www.ocean.ug.edu.pl